[백준/BOJ] 백준 코딩 알고리즘 11729번 하노이 탑 이동 순서/Python

문제

세 개의 장대가 있고 첫 번째 장대에는 반경이 서로 다른 n개의 원판이 쌓여 있다. 각 원판은 반경이 큰 순서대로 쌓여있다. 이제 수도승들이 다음 규칙에 따라 첫 번째 장대에서 세 번째 장대로 옮기려 한다.

1. 한 번에 한 개의 원판만을 다른 탑으로 옮길 수 있다.
2. 쌓아 놓은 원판은 항상 위의 것이 아래의 것보다 작아야 한다.

이 작업을 수행하는데 필요한 이동 순서를 출력하는 프로그램을 작성하라. 단, 이동 횟수는 최소가 되어야 한다.

아래 그림은 원판이 5개인 경우의 예시이다.

입력

첫째 줄에 첫 번째 장대에 쌓인 원판의 개수 N (1 ≤ N ≤ 20)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 옮긴 횟수 K를 출력한다.

두 번째 줄부터 수행 과정을 출력한다. 두 번째 줄부터 K개의 줄에 걸쳐 두 정수 A B를 빈칸을 사이에 두고 출력하는데, 이는 A번째 탑의 가장 위에 있는 원판을 B번째 탑의 가장 위로 옮긴다는 뜻이다.

예제 입력 1 

3

예제 출력 1 

7
1 3
1 2
3 2
1 3
2 1
2 3
1 3

 

코드 풀이

N = int(input())
print(2 ** N - 1)

A, B, C = [], [], []

def move(N, _from, _to):
  print(f"move {N} from {_from} to {_to}")

def hanoi(N, _from, _to, _via):
  if N == 1:
    move(N, _from, _to)
  else:
    hanoi(N-1, _from, _via, _to)
    move(N, _from, _to)
    hanoi(N-1, _via, _to, _from)

hanoi(N, "A", "C", "B")

(참고: 실제 백준 제출 때에는 print문을 조건에 맞게 변경해야한다! 위 출력문은 어떤 값이 어떻게 이동하는 지 파악하기 위해서 다음과 같이 작성되었다)

 

이동횟수

우선 하노이탑 원판의 개수에 따라서 이동 횟수는 다음과 같이 바뀐다

• 1개 : 1
• 2개: 3
• 3개: 7
• 4개: 15
• ...

 

이를 보면 하노이탑의 원판 개수를 n이라고 하고, P(n)을 이동 횟수라고 할 때

P(n) = 2 * P(n-1) + 1 

혹은 P(n) = 2 ^ n - 1 로 정리할 수 있다

 

이동 단계

하노이탑의 원판이 3개 있을 경우에는 다음과 같이 움직인다

 

 

이러한 이동은 개별 이동으로 볼 수도 있지만, 앞서 횟수 계산 시에 세운 정의를 고려했을 때 다음과 같이 정리할 수 있다

 

1. 제일 큰, 마지막 원판을 제외한 N-1 개의 원판들을 중간 기둥으로 옮긴다 (마지막 기둥은 거쳐가는 기둥으로 사용) -> P(n-1)

2. 마지막 원판을 마지막 기둥으로 옮긴다 -> 1

3. 중간 기둥에 있던 N-1개의 원판들을 마지막 기둥으로 옮긴다 (첫 번째 기둥은 거쳐가는 기둥으로 사용) -> P(n-1)

 

이 과정을 합하면 앞에서 정의한 2 * P(n - 1) + 1 과 동일한 수식이 세워지는 것을 확인할 수 있다

 

그리고 이를 점화식으로 정리하면 다음과 같다

출처:   https://mgyo.tistory.com/185

그리고 이를 코드로 표현하면 위의 블럭과 같다

 

 

내가 이 문제를 직접 풀 때는 하노이 탑의 원리에 대해 알아보고 이를 토대로 문제를 정의하고 쪼개는 것에는 성공했다

다만, 쪼갠 문제가 제대로 동작할지 믿지 못해서 코드로 풀어내지 못했던 것 같다

결국 문제를 쪼개더라도 100% 제대로 이해했는지에 따라서 코드로 풀어낼 수 있는지의 여부가 달라지는 것 같다

 

 

다음 재귀 문제에서는 최대한 문제를 쪼개고 재귀적으로 동작하는 원리를 100% 이해할 수 있도록 해야겠다

 

 

참고 페이지: https://mgyo.tistory.com/185